Les degrés de liberté, Volume 2

Considérons ensuite l’exemple suivant, peut-être un peu plus ardu :

Alors que le premier exemple était un mécanisme dit de type sériel, celui-ci en est un de type parallèle : ses composantes forment en effet un circuit fermé. De plus, Bleu est ici fixé au sol. Alors, comment procéder ?

D’abord, vu que Bleu est fixé au sol et que tous les autres corps sont fixés directement ou indirectement à Bleu, l’ensemble ne peut pas être déplacé et tourné librement dans le plan. Il ne possède donc pas les 3 degrés de liberté de base qui étaient présents dans le premier exemple.

Ensuite, suivant l’exemple précédent, on pourrait être amené à penser que ce mécanisme comporte 4 degrés de liberté, conférés par chacune de ses jointures rotatives ; or, il n’en est rien. Il faut en effet considérer que, vu que le mécanisme est parallèle, le changement de l’angle de rotation d’une seule des quatre jointures modifiera en conséquence l’angle de chacune des autres jointures. On n’a donc besoin que de l’angle d’une seule des jointures pour déduire ceux de toutes les autres. Le résultat ? Ce mécanisme ne comporte qu’un seul degré de liberté. Son état peut être résumé par une seule variable, soit l’angle de rotation d’une des quatre jointures. Si Bleu n’était pas fixé au sol, toutefois, il comporterait 3 degrés de liberté de plus, ce qui lui en donnerait 4 au total.

Le dernier exemple présenté dans cette série d’articles aura pour sujet un mécanisme assez familier en trois dimensions : le bras humain. En temps normal, trouver une représentation visuelle pour cet exemple ne devrait pas vous être trop ardu.

Pour les besoins de la cause, considérons d’abord le bras comme étant fixé par l’épaule au reste du corps, qui sera ici vu comme une base fixe. Ainsi, le bras peut être vu comme une suite de 3 jointures : le poignet, le coude et l’épaule (qui relie le bras au reste du corps). Or, l’épaule est ce qu’on pourrait considérer comme une jointure sphérique : elle permet 3 degrés de liberté, correspondants aux rotations par rapport à chacun des 3 axes. Le coude, lui ne permet qu’un seul degré de liberté entre les deux moitiés du bras qu’il relie : il peut être vu comme une jointure rottive. Finalement, le poignet peut aussi être vu comme une jointure sphérique. Le bras comporte donc un nombre de degrés de liberté égal à la somme des degrés de mouvement relatif permis par ses articulations : on arrive à un total de 7.

Il faut noter qu’il existe des équations mathématiques pour déterminer automatiquement le nombre de degrés d’un mécanisme à partir des corps et des joints le constituant : mais si elles étaient incluses ici, cette suite d’articles deviendrait plutôt longue, alors notre propos s’arrêtera ici.