Matrices Partie 2 : L'analyse de position

Cet article va présenter un exemple simple d’analyse de position à l’aide de matrices pour un manipulateur sériel. Définir ce qu’est l’analyse de position est plutôt simple : en considérant un manipulateur quelconque, il s’agit tout simplement de l’étude de la relation entre les valeurs qu’on donne aux différents paramètres contrôlables sur les joints du manipulateur (ex : l’angle de rotation d’un joint rotatif, la distance d’élongation d’un joint prismatique) et la position résultante du dernier membre du manipulateur (qu’on appelle souvent l’effecteur).

L’exemple utilisé sera celui d’un manipulateur sériel à 3 degrés de liberté dont le mouvement est limité à un plan à deux dimensions (même si le système de coordonnées utilisé va être à trois dimensions). Il a été pris dans le livre qui a servi de source aux articles de cette série, soit TSAI, Lung-Wen, ROBOT ANALYSIS : The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators, John Wiley and Sons Inc., États-Unis, 1999, 505 p.

Bref, trêve de bavardages, commençons :

On constate donc que notre manipulateur est composé de 4 membres ; le premier est attaché au sol, et au bout du dernier se trouve l’effecteur. Ces membres sont reliés entre eux par 3 jointures rotatives (un exemple plutôt simple, dans le fond).

On va d’abord rappeler que notre but ici est d’exprimer les coordonnées du point Q (soit la position de l’effecteur) en fonction des angles (variables) thêta1, thêta2 et thêta3 ainsi que des longueurs (fixes) a1, a2 et a3. L’observateur attentif aura noté la présence de systèmes d’axes à chaque jointure, ainsi qu’au point Q.

Logiquement, le point Q a, dans le système (x3, y3), les coordonnées (0,0,0) (sa coordonnée z existe toujours, mais reste nulle). Notre but est de trouver ses coordonnées dans le système (x0, y0) (celui de l’origine O), et ce en fonction des variables mentionnées plus haut.

Une démarche basée sur des multiplications de matrices permet d’arriver à une matrice, notée 0-A-3 (0 est en exposant, et 3 en indice), qui sert à « transformer » des coordonnées dans le système (x3, y3) en coordonnées dans le système (x0,y0). Vu qu’il s’agit d’une matrice de transformation dans l’espace à trois dimensions, elle sera de format 4x4 ; pour pouvoir multiplier des points par cette matrice, il faut leur ajouter une coordonnée de valeur 1. Bref, si l’on multiplie le point Q par cette matrice, on arrive à

On a donc une équation pour trouver les coordonnées x et y de Q dans le système (x0,y0), en fonction des variables du manipulateur. Dans le système (x0,y0), les coordonnées de Q sont

C’est ce qu’on recherchait au départ. Il faut bien sûr noter que, vu que le mouvement du manipulateur est limité à deux dimensions, la coordonnée z de Q (et de tous les points par la même occasion) va toujours être de 0. C’est tout pour aujourd’hui.